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B3. ...dai ragazzi ESEMPIO B 3. 2 Questo esempio riguarda la classe citata nell’ESEMPIO B 2. 1, dove la scelta didattica è stata di avviare un confronto individuale con una strategia (denominata "Il ventaglio di Francesco") non prodotta dalla classe, anche se simile a quella dell’unico allievo che aveva dimezzato gli angoli. Le ragioni della scelta di un "interlocutore" esterno stava essenzialmente nell’escludere eventuali dinamiche legati a fattori interni alla classe. Ad ogni allievo è stata data il seguente testo: Francesco, un bambino di
un’altra classe, ha risolto in questo modo il problema di ridurre
a metà il ventaglio rilevato dalla sua classe:
"Io prima dimezzo tutte le misure delle
ombre e le segno sul ventaglio vero. Poi disegno sul quaderno la prima
ombra ridotta a metà, dimezzo anche la larghezza fra la prima
e la seconda ombra perché anche quella deve essere rimpicciolita.
Dopo disegno la seconda ombra dimezzata. Poi di nuovo riduco a metà
l’angolo fra la seconda e la terza ombra e faccio la terza ombra
(sempre rimpicciolita della metà). Vado avanti così
fino alla fine del ventaglio". Disegna il ventaglio secondo la "regola" espressa da Francesco, basandoti sulle nostre misure. Rifletti sul ventaglio delle ombre che hai ottenuto. Scrivi se, secondo te, va bene oppure no, spiegando il perché.
Il contenuto matematico è realmente complesso: per trovare un metodo semplice per il bisecamento occorre avere delle conoscere sulle proprietà della bisettrice. Si può far riferimento alla retta perpendicolare alla bisettrice che crea dei segmenti dai lati dell’angolo. Oppure si ricorre alla caratteristica della bisettrice per cui ogni suo punto si trova alla stessa distanza dai due lati dell’angolo. Si sa che la bisettrice che parte dal un vertice di un triangolo divide il lato opposto in proporzione ai lati. Questi contenuti matematici non sono conosciuti dagli allievi della scuola elementare, ma il germe di alcuni di essi sono presenti nelle soluzioni degli alunni. Attraverso il dimezzamento approssimato, gli allievi, seguendo la "regola di Francesco", hanno ottenuto una forma adatta ad essere confrontata con quella originale. La richiesta di riflettere sul ventaglio ottenuto e di esprimere un parere circa la sua correttezza pone gli allievi in una situazione complessa. In precedenza, essi avevano già elaborato una soluzione seguendo le proprie idee; adesso devono fare lo sforzo di immedesimarsi nel ragionamento di un’altra persona, cercando di capire gli aspetti positivi o la causa di eventuali errori. Si formano così varie opinioni. Per alcuni bambini la forma ottenuta assomiglia alla propria soluzione perché le due figure sono a ventaglio e non ci sono differenze nelle lunghezze delle ombre. Inoltre, la "regola di Francesco" ha il significato di ricetta da seguire passo per passo per poter disegnare un ventaglio che stesse sul quaderno. Il questo caso è stato osservato prevalentemente il prodotto finale del ragionamento, mentre il metodo non è stato considerato. In altri alunni nascono dei dubbi. Il percorso sembra giusto, perché si crea un dimezzamento anche seguendo la "regola di Francesco". Tuttavia il prodotto finale non è perfetto, il ventaglio è troppo stretto, non rispetta le proporzioni. Osservando il prodotto, questi bambini respingono anche il metodo ed alcuni di solo "sospettano" la responsabilità del "dimezzamento dello spazio". Altri alunni mettono in relazione la posizione delle ombre reali con il tempo o con la posizione del sole e da ciò giungono a rifiutare decisamente il ventaglio ottenuto con la "regola di Francesco". L’opinione più interessante, che farà progredire di più la discussione dopo il lavoro individuale è quello di Mara: "Le ombre non devono essere strette perché
se no non si mantiene la proporzione del ventaglio di febbraio. Il
ventaglio che avevo fatto io manteneva la proporzione del ventaglio
vero, mentre quello che ha fatto Francesco non mantiene la proporzione.
Nella successiva discussione, con la guida dell’insegnante, gli allievi hanno raccolto inizialmente le argomentazioni con le quali venivano sostenute l’esattezza o l’erroneità della "regola". L’insegnante scrive alla lavagna: "Secondo alcuni il modo
di Francesco va bene perché:
Secondo altri il modo di Francesco non va bene perché:
Per i bambini che ritenevano giusto il metodo di Francesco, l’esercizio sembrava consistere solo nel disegnare qualcosa di più piccolo, affinché stesse sul quaderno. Non avendo osservato le caratteristiche del disegno originale, è come se non avessero tenuto conto della realtà. Gli altri allievi, all’inizio più incerti nella discussione, hanno man mano riconosciuto sempre più chiaramente l’errore di Francesco, cosa che ha fatto passare la riflessione da un livello concreto al un livello più alto. Nasceva un consenso sull’invariabilità degli angoli nell’approccio dinamico. L’intervento di un bambino ("Noi abbiamo fatto solo un disegno, ma non un ventaglio vero") ha permesso il passaggio dal modello alla realtà. La discussione si è conclusa con il riconoscimento della continuità della rotazione dell’ombra nel tempo, cosa che diventa un ottimo punto di partenza per introdurre la rotazione di centro O. I contenuti matematici sviluppati in una discussione non arrivano ad ogni allievo con la stessa profondità: per questo è importante, nel processo di formazione dei concetti, un tempo lungo di maturazione e la possibilità di approcci diversi. Nel corso di questo processo l’insegnante svolge un’attività di osservatore e di analizzatore, raccogliendo informazioni sul ritmo di sviluppo e sul livello di ciascun allievo. A questo proposito può essere utile chiedere agli allievi, al termine della discussione, una relazione del lavoro svolto a partire dalla domanda seguente: Che cosa pensi sia importante ricordare delle discussione che abbiamo fatto? (Per il materiale su questo esempio, ringrazio le colleghe àgnes Makara ed Erzsébet Zsinkò, di Budapest, preziose osservatrici in classe) |
